Matemáticas

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Publicado por t800 01/03/2009 @ 07:06

Tags : matemáticas, ciencia

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Matemáticas en el Antiguo Egipto

El Ojo de Horus Udyat: los primeros números racionales

Las matemáticas en el Antiguo Egipto constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló, y podemos estudiarlas a partir del papiro Rhind, que anuncia pomposamente: Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto.

El punto de vista tradicional sobre el Imperio Antiguo nos dice que los egipcios dedicaron la aritmética para usos prácticos, con muchos problemas del tipo: cómo un número de panes se pueden dividir en partes iguales entre un número de personas. Los problemas de los papiros de Moscú y Rhind se expresan en un contexto educativo, y los traductores han encontrado tres definiciones abstractas del número y otras formas más complejas de aritmética. Las tres definiciones abstractas están en la tablilla de madera de Ajmin, el EMLR y el papiro matemático de Rhind. Las formas más complejas de aritmética incluyen el uso de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división. Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de posicionamiento en la tablilla de Ajmin, el PMR y otros textos.

Para la adición y la multiplicación, emplearon el método de duplicar, y de dividir por dos, un número conocido para encontrar a la solución. Para la sustracción y la división emplearon otros métodos que todavía no se conocen en su totalidad. El «método de posición falsa» puede no haber sido utilizado para la división y los problemas simples del álgebra.

En el Imperio Antiguo, usaban un sistema numérico de base 10, en el Imperio Nuevo, fracciones unitarias y tablas de segundos resultados; los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los cuales se explican en el papiro matemático de Rhind.

Alrededor del 2700 a. C. los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración completamente desarrollado de base 10. Aunque no era un sistema posicional, permitió el uso de grandes números y también de fracciones en la forma de fracciones unitarias: fracciones del Ojo de Horus, y varias fracciones binarias.

En esa misma época, las técnicas egipcias de construcción incluyeron sistemas de topografía, marcando el norte por la situación del sol al mediodía. Antes del 2000 a. C., comenzaron a aparecer referencias claras que citaban aproximaciones para π y raíces cuadradas. Las relaciones del número exacto, tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y medidas también comenzaron a aparecer alrededor del 2000 a. C., con varios problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.

Nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias ha sido incompleto por la falta de fuentes disponibles. La más famosa es el papiro Rhind, o Ahmes, el papiro matemático (PMR), un texto que pueda ser leído comparando muchos de sus elementos con otros textos como el EMLR y las tablillas de madera de Ajmim. El PMR se fecha a partir del Segundo periodo intermedio de Egipto (circa 1650 a. C.), pero el autor lo identifica como copia de un papiro del Imperio Medio. El papiro matemático de Rhind contiene una tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Utiliza una forma de aritmética que usa fracciones unitarias, que eran precedidas a menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente como aritmética del resto.

El PMR también incluye fórmulas y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de la tabla de Eratostenes y del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas.

Los papiros de Berlín, escritos alrededor del 1300 a. C., muestra que los antiguos egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo texto.

Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner, la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que incluyen prescripciones médicas.

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en jeroglíficos, era un sistema decimal, con sígnos distintos para 10, 100, 1000, etc, que se usó en el periodo Predinástico. El segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo, se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor 2150 a. C.

Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en el Periodo Romano para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.

El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal, redondeando a menudo al número más alto, y escrito con Jeroglíficos.

Los jeroglíficos egipcios podían ser escritos dentro del texto. En este ejemplo, se escriben de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

Además de este sistema de numeración, en la antigua lengua egipcia podían escribir los números con las palabras que los representaban, es decir, podían escribir "treinta" en lugar de "30", aunque esto era infrecuente para la mayoría de los números.

Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo, utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema que reemplazó al modo jeroglífico.

Como la mayoría de textos administrativos y de contabilidad fue escrita en papiros u ostracas, y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el sistema hierático de escritura, siempre los casos encontrados de números escritos en hierático son posteriores al Imperio Antiguo. Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que utilizan estos números.

Boyer demostró hace 50 años que esa escritura utilizaba un sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números 1 a 9, los múltiplos de 10 entre 10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como 9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos.

Dos papiros matemáticos famosos que usan la escritura hierática son el de Moscú y el de Rhind. Este último contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus cálculos matemáticos, y los números fueron designados poniendo una línea sobre la letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1.500 años más tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1, /beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeración y resolución de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeración egipcia, la aritmética y otros aspectos de la matemáticas egipcia.

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma, si no resta.

La sustracción está descrita en el rollo de cuero EMLR (1800 a. C.), un documento que incluye cuatro métodos de suma.

La multiplicación egipcia se hacía por duplicaciones del multiplicando, y es conocido como duplicación y mediación, y se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación.

Como un corte para números más grandes, el multiplicando se puede también multiplicar inmediatamente por 10, 100, etc.

Nota: El signo indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final: se desecha la primera línea (A = X = 80) y se detiene la operación en B = 8, ya que la siguiente cifra (16) es mayor que Y (14).

La matemática hierática del Imperio Medio mantuvo esta forma de multiplicación jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar, como luego se hizo en Mesopotamia.

Cuando el cociente no es exacto, es necesario introducir las fracciones.

Significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625) heqat de cebada.

Significa: 1/4 + 1/8 (3/8 = 0'375) de arada.

Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque, los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.

Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recogida de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,) entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.

Por ejemplo, en el problema nº 4 del Papiro de Rhind: Dividir 7 panes entre 10 hombres. Tienes que multiplicar 2/3 + 1/30 por 10. Resultado, 7.

Es evidente que a los egipcios les interesaba sólo el aspecto práctico de la ciencia. Esto explica por qué, especialmente en los cálculos de repartimiento, los escribas tuvieran en cuenta, además del número de partes, la calidad de la mercancía. Este concepto se llamaba pesú, que significa literalmente valor de cocina, e indica el número de unidades que se puede obtener de una fanega: si el pesú de un pan es 12, significa que ese pan tiene 1/12 de fanega; el pesú de una jarra de cerveza (otro elemento fundamental en la alimentación) significa el número de jarras obtenidas de una fanega de grano. Cuanto más bajo sea el número del pesú, más fuerte es la cerveza, o más grande o compacto el pan.

Este elemento de cálculo es fundamental para remunerar los servicios, por lo interviene en numerosos problemas.

Por ejemplo: «Tres 1/2 fanegas de harina se transforman en 80 panes. Dime cuánta harina tiene cada pan y cuál es su pesú.» «Si te dicen: He aquí 100 panes de fuerza (pesú) 10, que hay que cambiar por panes de fuerza (pesú) 15. ¿Cuánto darás a cambio?» (Da cómo respuesta que 100 panes de 10 equivalen a 150 de 15).

Hay que observar que el valor pesú variaba en proporciones apreciables, y que los escribas a veces tenían que entregar líquidos por sólidos o viceversa.

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E8 (matemáticas)

En matemática, es el nombre de un grupo de Lie (el más grande) simple y excepcional y del álgebra de Lie que le está asociada. Su álgebra de Lie es formulada con la notación .

La estructura E8 fue descubierta en 1887 por el matemático noruego Sophus Lie para estudiar las simetrías.

Es también el nombre dado al correspondiente sistema de generadores y al grupo de Weyl-Coxeter y a algunos grupos de Chevalley simples y finitos. Aunque el sistema E8 fue previsto por Lie, fue Wilhelm Killing (entre 1888-1890) quien le dio la denominación e interpretación más precisa con que actualmente es identificado.

El nombre E8 se debe a las clasificaciones de las álgebras de Lie simples y complejas de Wilhelm Killing y Élie Cartan, las cuales comprehenden cuatro familias infinitas llamadas y cinco casi excepcionales, llamadas .

El grupo E8 es el más grande y el más complicado de estos casos excepcionales y frecuentemente el último caso de la demostración de varios teoremas.

E8 posee un rango 8 y 248 dimensiones (como espacio vectorial) y su centro es trivial. Los generadores son, entonces, vectores de dimensión 8 (serán observados más adelante en el presente artículo).

El grupo de Weyl de E8, es del orden 696729600. E8 y el único grupo de Lie simple en el cual la representación no banal de mínima dimensión es la llamada adjoint action (acción adjunta), la cual actúa sobre el álgebra E8 misma.

Existe un álgebra de Lie En para todo número entero n≥3, y es de infinitas dimensiones si n es mayor de 8.

El grupo de Lie complejo E8, de dimensiones complejas 248 (por lo tanto de dimensión real 496), puede ser considerado como un grupo simple de 496 dimensiones (reales), el cual está simplemente conexo, posee como máximo un subgrupo compacto de la forma compacta de E8 y posee un grupo externo de automorfismos de dimensión 2, generado por la conjugación compleja.

Los coeficientes de las fórmulas de los carácteres para las representaciones irreducibles infinito-dimensionales dependen de algunas matrices quadradas de polinomios: los polinomios de Lusztig-Vogan, análogos a los polinomios de Kazhdan-Lusztig, introducidos por George Lusztig y David Vogan (1983). El valor de estos polinomios calculados en 1 da lo coeficientes de las matrices relativas a la representación estándar (cuyos caracteres son fáciles de describir merced a las representaciones irreducibles).

Estas matrices fueron calculadas tras cuatro años con la colaboración de un equipo denominado Atlas of Lie groups an Representations que reunió a 18 matemáticos e informáticos dirigidos por Jeffrey Adams y con gran parte de la programación hecha por Fokko du Cloux y Marc van Leeuwen.

La representación fundamental de E8 es de dimensión 248.

ó es una de las dos representaciones espinoriales, de tipo Majorana-Weyl del grupo donde es el álgebra de Lie.

A partir de estas definiciones se puede observar que la identidad de Jacobi está cumplida.

La forma real compacta de E8 puede ser observada como el grupo de isosimetría de una variedad riemanniana de dimensión 128 denominada plan proyectivo octoniónico. Este nombre procede de que tal plan puede construirse utilizando un álgebra que está construida como producto tensorial de los octoniones y con ellos mismos. Este tipo de construcción ha sido analizada detalladamente por Hans Freudenthal y Jacques Tits en su construcción del cuadro mágico o cuadrado mágico.

Por lo demás, el grupo E8 aparece frecuentemente en teoría de las cuerdas y en supergravedad. En la teoría de las cuerdas heteróticas une formulación hace aparecer (bajo forma compacta) como grupo de Gauge. De otra parte, en cuanto que la supergravedad maximal está considerada como compactificada o resabiada sobre un toro de dimensión 8 entonces la teoría resultante en dimensión tres posee una simetría global E8 (es decir: la forma desplegada o maximalmente no-compactada). Esto ha sugerido que una versión discreta, cuya notación es , de este grupo sería una simetría, la cual estaría considerada en el contexto de la U-dualidad, de la teoría M.

En noviembre de 2007, un investigador estadounidense, Antony Garrett Lisi, publicó en el sitio de publicaciones ArXiv un artículo muy discutido referido a una teoría unificatoria de las 4 fuerzas elementales (Una teoría del todo excepcionalmente simple) basada en E8.

Se obtienen entonces raíces, todas múltiplos de 1. Por abuso de lenguaje se ha considerado también en ocasiones al vector nulo como una raíz nula asociada al subálgebra de Cartan. Como E8 es de rango 8, la raíz nula es entonces de multiplicidad 8. De este modo se describe bien a los 248 generadores del álgebra .

El 19 de marzo de 2007 el Instituto estadounidense de matemáticas (AIM) ha anunciado que los investigadores europeos y estadounidenses luego de cuatro años de trabajo han llegado a decodificar el E8, una de las estructuras matemáticas más complejas y grandes. El núcleo del grupo de investigadores está constituido por siete matemáticos , cinco estadounidenses y dos franceses: Jeffrey Adams de la Universidad de Maryland, Dan Barbasch de Universidad Cornell, John Stembridge de la Universidad de Míchigan, Peter Trapa de la Universidad de Utah, Marc van Leeuwen de la Universidad de Poitiers, David Vogan del MIT y Fokko du Cloux de la Universidad de Lyon.

Entre los objetos subyacentes en los grupos de Lie, se encuentra toda suerte de figuras geométricas como por ejemplo esferas, conos y cilindros del espacio tridimensional. Sin embargo las cuestiones se hacen más complejas (como si se potenciaran) cuando se las observa en más de tres dimensiones. «Comprendrer y clasificar las estructuras ha sido crítico para comprender los fenómenos en numerosos dominios de las matemáticas incluyendo el álgebra, la geometría, la física, la teoría de los números así como en la química», ha comentado Peter Sarnak, profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton y présidente del comité científico del AIM.

Estos cálculos requieren de nuevas técnicas matemáticas y de más capacidad de cálculo en los ordenadores. Por ejemplo para llegar al cálculo de G8 una sola operación ha necesitado 77 horas en un supercomputador dotado de 200 Gbytes de memoria RAM, y ha producido un resultado del orden de 60 GBytes por lo que esta magnitud puede ser comparada a 60 veces a la requerida para el genoma humano (el conjunto de datos del genoma representa un volumen de 1 Gbyte). El equipo de investigadores busca encontrar un supercomputador capaz de efectuar los cálculos requeridos; Noam Elkies, un matemático de la Universidad Harvard ha puesto en evidencia un modo de fraccionar el proyecto en elementos más simples. Cada élemento produce un subconjunto del resultado y su reunión permite hallar la solución completa. Así en verano de 2006 tres integrantes del equipo de investigadores, entre ellos Fokko du Cloux, han descompuesto el programa en numerosos elementos. Los cálculos han sido realizados en una computadora de la Universidad de Washington.

El resultado del cálculo de E8 si fuera escrito sobre papel cubriría un área similar a la de la isla de Manhattan.

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Matemáticas mayas

Los mayas fueron muy sabios en las matemáticas y en la astronomía. En matemáticas desarrollaron un sistema de numeración utilizando tres símbolos y de base 20. Debido a que la base del sistema del número era 10, se apuntaron en potencias de 20 los números más grandes.

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Olimpiada Mexicana de Matemáticas

La Olimpiada Mexicana de Matemáticas empieza en el año de 1987. Es organizada por la Sociedad Matemática Mexicana y su objetivo principal es escoger 6 alumnos que representen a México en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas, la Olimpiada de la Cuenca del Pacífico y la Olimpiada Matemática de Centroamerica y el Caribe.

El Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es la competencia anual de matemáticas para estudiantes preuniverstarios más importante en Mexico. Su objetivo es promover el estudio de las matemáticas en forma creativa, alejándose del estudio tradicional que promueve la memorización y mecanización, y buscando desarrollar el razonamiento y la imaginación de los jóvenes.

Anualmente cada estado de la República lleva a cabo, en forma autónoma, su concurso Estatal y la preparación del equipo que lo representa en el Concurso Nacional. A este concurso asisten aproximadamente 200 alumnos de todo el país y uno o dos profesores por cada delegación estatal. Este evento se desarrolla en el mes de noviembre en algún estado de la República, mismo que patrocina fuertemente el evento. Asiste también un equipo de 24 personas que integran el Tribunal de Coordinación, encargado de la calificación de los exámenes presentados por los alumnos concursantes. Este equipo está formado por prestigiados profesores de todo el país, así como alumnos de olimpiadas pasadas que han destacado y que han continuado su preparación en matemáticas.

Los 16 alumnos con mejores calificaciones en el Concurso Nacional constituyen la preselección nacional, la cual recibe entrenamientos especiales durante varios meses. De esta preselección se eligen las delegaciones que representarán a México en las olimpiadas internacionales del año siguiente: Internacional, Iberoamericana, Centroamericana y del Caribe y de la Cuenca del Pacífico.

Toda participación de los alumnos en los concursos y entrenamientos es gratuita. Los gastos de viajes y alimentación de los alumnos para asistir a los concursos nacionales e internacionales así como los entrenamientos, son patrocinados por diversas instituciones, a través de la Sociedad Matemática Mexicana, organizadora de la Olimpiada a nivel nacional.

Para fortalecer el programa de la Olimpiada, el Comité Organizador de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas realiza un examen de práctica, cursos especiales para profesores, y la publicación de material académico y de difusión.

El esfuerzo de un gran número de personas que han trabajado para las Olimpiadas a lo largo de varios años se ha visto recompensado por el papel destacado que ha tenido nuestro país a nivel internacional. Es importante señalar, sobre todo, el impacto en el ambiente educativo de nuestro país: muchos profesores y alumnos que se han acercado en algún momento a las Olimpiadas han creado, de manera espontánea y altruista, innumerables talleres de resolución de problemas de matemáticas en los cuales han vertido sus experiencias. Asimismo, las universidades involucradas en la organización de las Olimpiadas de Matemáticas han recibido el fruto de su apoyo con el ingreso de alumnos que cuentan con una excelente formación tanto matemática como humana, la cual han obtenido gracias a sus experiencias durante los concursos, los intercambios y entrenamientos que les ha ofrecido el programa de las Olimpiadas.

El examen de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas se hace en dos días. En cada día se le presenta a los alumnos un examen que consiste de 3 preguntas con tiempo de 4 horas y media. Los problemas valen 7 puntos cada uno para hacer un total de 42 puntos. El formato del examen esta hecho para imitar el formato de las olimpiadas matemáticas internacionales en las que participa México.

Los problemas pueden ser de combinatoria, geometría, teoría de números o álgebra.

Examenes Estatales. Estos exámenes servirán para formar las selecciones estatales que asistirán al Concurso Nacional.

Concurso Nacional. En él se elegirá a la preselección mexicana. Se realiza aproximadamente la segunda semana de noviembre de cada año.

Entrenamientos. A los alumnos de la preselección que surjan del Concurso Nacional, se les entrena intensivamente durante 6 meses, además se les aplican exámenes para determinar quiénes de ellos representarán a Mexico en las diferentes olimpiadas internacionales.

1987 1a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Xalapa, Veracruz.

1988 2a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Hermosillo, Sonora.

1989 3a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Metepec, Puebla.

1990 4a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Guanajuato, Guanajuato.

1991 5a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Oaxtepec, Morelos.

1992 6a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - La Trinidad, Tlaxcala.

1993 7a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Acapulco, Guerrero.

1994 8a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Guadalajara, Jalisco.

1995 9a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Colima, Colima.

1996 10a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Mérida, Yucatán.

1997 11a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Monterrey, Nuevo León.

1998 12a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Querétaro, Querétaro.

1999 13a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Oaxaca, Oaxaca.

2000 14a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Morelia, Michoacán.

2001 15a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Oaxtepec, Morelos.

2002 16a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Colima, Colima.

2003 17a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Guanajuato, Guanajuato.

2004 18a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Ixtapan de la Sal, Estado de Mexico.

2005 19a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Campeche, Campeche.

2006 20a Olimpiada Mexicana de Matemáticas - Zacatecas, Zacatecas.

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Source : Wikipedia